FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Em teoria das probabilidades, a evolução de Schramm-Loewner com parâmetro ${\displaystyle \kappa }$ (ESL${\displaystyle _{k}}$), também conhecida como evolução estocástica de Loewner, é uma família de curvas planas aleatórias, tendo sido provado que são o limite escalar de uma variedade de modelos de reticulados bidimensionais em mecânica estatística. Dados um parâmetro ${\displaystyle \kappa }$ e um domínio no plano complexo ${\displaystyle U}$, tem-se uma família de curvas aleatórias em ${\displaystyle U}$, com ${\displaystyle \kappa }$ controlando o quanto a curva gira. Há duas variantes principais da evolução de Schramm-Loewner: a evolução cordal, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de dois pontos fixos no limites, e a evolução radial, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de um ponto fixo no limite até um ponto fixo no interior. Estas curvas são definidas a fim de satisfazer à invariância conforme e à propriedade de Markov de um domínio.

Foi descoberta por Oded Schramm como um limite escalar conjeturado dos processos probabilísticos da árvore geradora uniforme (uniform spanning tree ou UST, na sigla em inglês) plana e do passeio aleatório de loop apagado (loop-erased random walk ou LERW, na sigla em inglês).^[1] Em seguida, foi desenvolvida por ele junto com Greg Lawler e Wendelin Werner em uma série de artigos em conjunto.

Além da UST e do LERW, é possível conjeturar ou provar que a evolução de Schramm-Loewner descreve o limite escalar de vários processos estocásticos no plano, tal como a percolação crítica, o Modelo Ising crítico, o modelo de dímero-duplo, caminhos autoevitantes e outros modelos críticos da mecânica estatística que exibem invariância conforme. As curvas da ESL são os limites escalares de interfaces e outras curvas aleatórias que não se interseccionam nestes modelos. A ideia principal é de que a invariância conforme e uma certa propriedade de Markov inerente a tais processos estocásticos juntas tornam possível codificar estas curvas planas em um movimento browniano unidimensional que percorre o limite do domínio (a função diretora da equação diferencial de Loewner). Desta forma, muitas questões importantes sobre modelos planos podem ser traduzidas em exercícios em cálculo de Itō. De fato, várias previsões matemáticas não rigorosas feitas por físicos usando a teoria do campo conformal foram provadas com o uso desta estratégia.

Equação de Loewner[editar | editar código-fonte]

Se D for um domínio complexo, aberto, simplesmente conexo, não igual a C e ${\displaystyle \gamma }$ for uma curva simples em D que começa em seu limite (uma função contínua com ${\displaystyle \gamma (0)}$ no limite de D e ${\displaystyle \gamma ((0,\infty ))}$ um subconjunto de D), então, para cada ${\displaystyle t\geq 0}$, o complemento D${\displaystyle _{t}}$ de ${\displaystyle \gamma ([0,t])}$ é simplesmente conexo e, por isso, conformemente isomórfico a D pelo teorema do mapeamento de Riemann. Se ${\displaystyle f_{t}}$ for um isomorfismo normalizado adequado de D a D${\displaystyle _{t}}$, então, satisfaz uma equação diferencial encontrado por Loewner em seu trabalho sobre a conjetura de Bierbach.^[2] Às vezes, é mais conveniente usar a função inversa ${\displaystyle g_{t}}$ de ${\displaystyle f_{t}}$, que é uma projeção conforme de D${\displaystyle _{t}}$ a D.

Na equação de Loewner, ${\displaystyle z}$ está no domínio D, ${\displaystyle t\geq 0}$ e os valores do limite no momento ${\displaystyle t=0}$ são ${\displaystyle f_{0}(z)=z}$ ou ${\displaystyle g_{0}(z)=(z)}$. A equação depende de uma função diretora ${\displaystyle \zeta (t)}$ que assume os valores no limite de D. Se D for o disco unitário e a curva ${\displaystyle \gamma }$ for parametrizada por "capacidade", então, a equação de Loewner é:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}}$   or   ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

X

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Quando D é o plano da metade superior, a equação de Loewner difere disto pelas mudanças de variável e é:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}}$   or   ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$

X

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A função diretora ${\displaystyle \zeta }$ e a curva ${\displaystyle \gamma }$ são relacionadas por:

${\displaystyle \displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t)}$   or   ${\displaystyle \displaystyle \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

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em que ${\displaystyle f_{t}}$ e ${\displaystyle g_{t}}$ são estendidas por continuidade.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere D o plano da metade superior e uma SLE${\displaystyle _{0}}$, sendo a função diretora ${\displaystyle \zeta }$ um movimento browniano de difusividade zero. A função ${\displaystyle \zeta }$ é assim igual a zero quase certamente e

${\displaystyle f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}}$

${\displaystyle g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}}$

${\displaystyle \gamma (t)=2i{\sqrt {t}}}$

X

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D${\displaystyle _{t}}$ é o plano da metade superior com a linha de 0 a ${\displaystyle 2i{\sqrt {t}}}$ removida.

Evolução de Schramm-Loewner[editar | editar código-fonte]

A evolução de Schramm-Loewner é a curva aleatória ${\displaystyle \gamma }$ dada pela equação de Loewner como mostrada na seção anterior para a função diretora

${\displaystyle \displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

X

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em que ${\displaystyle B(t)}$ é o movimento browniano no limite de D, escalado por algum ${\displaystyle \kappa }$ real. Em outras palavras, a evolução de Schramm-Loewner é a medida de probabilidade em curvas planas, dada como a imagem da medida de Wiener sob este mapa.

Em geral, a curva ${\displaystyle \gamma }$ não precisa ser simples e o domínio D${\displaystyle _{t}}$ não é o complemento de ${\displaystyle \gamma ([0,t])}$ em D, mas, em vez disso, o componente não limitado do complement.

Há duas versões da evolução de Schramm-Loewner, que usam duas famílias de curvas, cada uma dependendo de um parâmetro real não negativo ${\displaystyle \kappa }$:

• A ESL${\displaystyle _{\kappa }}$ cordal, que é relacionada com as curvas que conectam dois pontos no limite de um domínio (geralmente, o plano da metade superior, como os pontos sendo 0 e infinito);
• A ESL${\displaystyle _{\kappa }}$ radial, que é relacionada com as curvas que ligam um ponto no limite de um domínio a um ponto no interior (frequentemente curvas que ligam 1 e 0 no disco unitário).

A evolução de Schramm-Loewner depende da escolha de movimento browniano no limite do domínio e há diversas variações que dependem do tipo de movimento browniano usado: por exemplo, ele pode começar em um ponto fixo ou em um ponto uniformemente distribuído no círculo unitário ou pode ter um construto em deriva, daí em diante. O parâmetro ${\displaystyle \kappa }$ controla a taxa de difusão do movimento browniano e o comportamento da evolução de Schramm-Loewner depende criticamente de seu valor.

Os dois domínios mais comumente usados na evolução de Schramm-Loewner são o plano da metade superior e o círculo unitário. Ainda que a equação diferencial de Loewner nestes dois casos pareça diferente, eles são equivalentes a mudanças de variáveis na medida em que o círculo unitário e o plano da metade superior são conformemente equivalentes. Entretanto, uma equivalência conforme entre eles não preserva o movimento browniano em seus limites usado para dirigir a evolução de Schramm-Loewner.

The two domains most commonly used in Schramm–Loewner evolution are the upper half plane and the unit circle. Although the Loewner differential equation in these two cases look different, they are equivalent up to changes of variables as the unit circle and the upper half plane are conformally equivalent. However a conformal equivalence between them does not preserve the Brownian motion on their boundaries used to drive Schramm–Loewner evolution.

Valores especiais de ${\displaystyle \kappa }$[editar | editar código-fonte]

• ${\displaystyle \kappa =2}$ corresponde ao passeio aleatório de loop apagado ou, equivalentemente, aos ramos da árvore geradora uniforme.
• Para ${\displaystyle \kappa =8/3}$, a ESL${\displaystyle _{\kappa }}$ tem a propriedade da restrição e conjetura-se que seja o limite escalar dos passeios aleatórios autoevitantes. Uma versão disto é a fronteira externa do movimento browniano.
• ${\displaystyle \kappa =3}$ é o limite das interfaces para o modelo Ising.
• Para ${\displaystyle 0\leq \kappa \leq 4}$, a curva ${\displaystyle \gamma (t)}$ é simples (com probabilidade 1).
• ${\displaystyle \kappa =4}$ corresponde ao caminho do explorador harmônico e às linhas de contorno do campo livre gaussiano.
• Para ${\displaystyle \kappa =6}$, a ESL${\displaystyle _{\kappa }}$ tem a propriedade da localidade. Isto surge no limite escalar da percolação crítica no reticulado triangular e conjeturalmente em outros reticulados.
• Para ${\displaystyle 4<\kappa <8}$, a curva ${\displaystyle \gamma (t)}$ intersecciona consigo mesma e todo ponto está contido em um loop, mas a curva não preenche espaço (com probabilidade 1).
• ${\displaystyle \kappa =8}$ corresponde ao caminho que separa a árvore geradora uniforme de sua árvore dual.
• Para ${\displaystyle \kappa \geq 8}$, a curva ${\displaystyle \gamma (t)}$ preenche espaço (com probabilidade 1).

Quando a evolução de Schramm-Loewner corresponde a alguma teoria do campo conforme, o parâmetro ${\displaystyle \kappa }$ é relacionado com a carga central ${\displaystyle c}$ da teoria do campo conforme por

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

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Cada valor de ${\displaystyle c<1}$ corresponde a dois valores de ${\displaystyle \kappa }$. Um valor de ${\displaystyle \kappa }$ entre ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 4}$ e um valor "dual" ${\displaystyle 16/\kappa }$ superior a ${\displaystyle 4}$.

Vincent Beffara mostrou que a dimensão de Hausdorff dos caminhos (com probabilidade 1) é igual a ${\displaystyle min(2,1+\kappa /8)}$.^[3]

Em teoria das probabilidades, uma excursão browniana é um processo estocástico intimamente relacionado com um processo de Wiener (ou movimento browniano). Ocorrências de excursão browniana são essencialmente simples ocorrências de um processo de Wiener impelidas a satisfazer certas condições. Em particular, uma excursão browniana é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1.^[1] Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva. Excursões brownianas são importantes porque, dentre outras razões, surgem naturalmente como o processo limite de uma quantidade de teoremas centrais do limite funcionais condicionais.^[2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma excursão browniana ${\displaystyle e}$ é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva.

Outra representação de uma excursão browniana ${\displaystyle e}$ em termos de um movimento browniano ${\displaystyle W}$ (proposta por Paul Lévy e notada por Kiyoshi Itō e Henry P. McKean Jr.)^[3][4] se refere ao último tempo ${\displaystyle \tau _{-}}$ em que ${\displaystyle W}$ atinge zero antes do tempo 1 e o primeiro tempo ${\displaystyle \tau _{+}}$ em que ${\displaystyle W}$ atinge zero depois do tempo 1:^[4]

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

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Considere ${\displaystyle \tau _{m}}$ o tempo em que a ponte browniana ${\displaystyle W_{0}}$ atinge seu mínimo em ${\displaystyle [0,1]}$. Em 1979, Wim Vervat mostrou que:^[5]

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

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Propriedades[editar | editar código-fonte]

A representação de Vervaat de uma excursão browniana tem várias consequências para diversas funções de ${\displaystyle e}$. Em particular,

${\displaystyle M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),}$

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o que também pode ser derivado por cálculos explícitos,^[6][7] e

${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).}$

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O seguinte resultado se aplica:^[8]

${\displaystyle EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,}$

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E os seguintes valores para o segundo momento e a variância podem ser calculados pela forma exata da distribuição e densidade:^[8]

${\displaystyle EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .}$

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Em 1989, Piet Groeneboom deu uma expressão da transformada de Laplace da densidade de ${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$.^[9] Uma fórmula para uma certa transformada dupla da distribuição desta integral de área foi dada por Guy Louchard em 1984.^[10]

Em 1983, Groeneboom e Jim Pitman deram decomposições do movimento browniano ${\displaystyle W}$ em termos de excursões brownianas independentes e identicamente distribuídas e do menor majorante côncavo (ou do maior minoraste convexo) de ${\displaystyle W}$.^[11][12]

A fórmula de Feynman–Kac, que recebe este nome em homenagem ao físico norte-americano Richard Feynman e ao matemático polonês Mark Kac, estabelece uma ligação entre equações diferenciais parciais (EDPs) parabólicas e processos estocásticos. A fórmula oferece um método para resolver algumas EDPs pela simulação de caminhos aleatórios de um processo estocástico. Reciprocamente, uma importante classe de valores esperados de processos aleatórios pode ser computada por métodos determinísticos.

Fórmula[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial parcial^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,}$

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definida para todo ${\displaystyle x}$ em R e todo ${\displaystyle t}$ em ${\displaystyle [0,T]}$, sujeita à condição terminal

${\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}$

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em que ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle f}$ são funções conhecidas. ${\displaystyle T}$ é um parâmetro e ${\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }$ é desconhecido. Então, a fórmula de Feynman–Kac nos diz que a solução pode ser escrita como um valor esperado condicional

${\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]}$

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sob a medida de probabilidade ${\displaystyle Q}$, tal que ${\displaystyle X}$ é um processo de Itō dirigido pela equação

${\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q},}$

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sendo ${\displaystyle W^{Q}(t)}$ um processo de Wiener (também chamado de movimento browniano) sob ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle x}$ a condição inicial para ${\displaystyle X(t)}$.

Em cálculo estocástico, a fórmula de Tanaka, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka, afirma que:^[1]

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})dB_{s}+L_{t}}$,

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em ${\displaystyle B_{t}}$ é o movimento browniano padrão, ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ denota a função sinal

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x>0;\\0,&x=0\\-1,&x<0.\end{cases}}}$,

e ${\displaystyle L_{t}}$ é seu tempo local em 0 (o tempo local gasto por ${\displaystyle B}$ em 0 antes do tempo ${\displaystyle t}$) dado pelo limite L²

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|}$.

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